2.2 Kohärenzfunktion eines Gaslasers

Wenn ein Atom oder ein Molekül in eine Gaslaser Strahlung emittiert entsteht eine schmale, quasimonochromatische Linie der Frequenz $\nu_0$. Bewegt sich das Atom mit der relativen Geschwindigkeit v auf eine Betrachter zu oder von ihm weg, so wird dieser eine Frequenz

$$\nu = \nu_0 \biggl (1 \pm \frac{v}{c} \biggr )$$ (2.11)

wahrnehmen. Diesen Effekt nennt man den Dopplereffekt nach Christian Doppler (1803 - 1853), der die Frequenzverschiebung 1842 für Schallwellen erklärte. Befinden sich Atome im thermischen Gleichgewicht, so sagt die statistische Mechanik, daß sich eine Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung ergibt. Die spektrale Verteilungsfunktion, die sich aus der Bewegung der Atome ergibt, hat die Form ^2.1

$$P(\omega) = \sqrt{\pi} \tau_0 e^{-(\omega - \omega_0)^2 (\tau_0 / 2)^2}$$ (2.12)

Es ergibt sich eine Gaussche Linie bei der Frequenz $\omega_0$ mit einer Breite von

$$\Delta \omega = \frac{1}{\tau_0}$$ (2.13)

Betrachtet man eine Folge von emittierten Wellenzügen, so variiert Ihre Dauer um den Mittelwert $\tau_0$. Die Phasenbeziehungen sind zufällig (Abbildung 2.2).

Abbildung 2.2: Folge von Wellenzügen unterschiedlicher Lebensdauer $\tau$

Will man die Frequenzabhängigkeit der Intensität ausdrücken, so läßt sich für die Interferenz zweier Teilstrahlen gleicher Intensität schreiben

$$I_P = \int_0^{\infty} I(\omega) (1 + \cos \omega \tau) d \omega$$ (2.14)

Das Integral enthält einen konstanten und einen oszillierenden Term. Der konstante Term ist

$$I_0 = \int_0^{\infty} I(\omega) d \omega$$ (2.15)

und der oszillierende Term ist

$$\int_0^{\infty} I(\omega) \cos \omega \tau d \omega$$ (2.16)

Jetzt läßt sich eine normierte Intensitätsverteilung definieren. Dies ist eine spektrale Verteilungsfunktion.

$$P(\omega) = \frac{I(\omega)}{\int_0^{\infty} I(\omega) d \omega} = \frac{I(\omega)}{I_0}$$ (2.17)

Durch eine Fouriertransformation der Gausschen Verteilungsfunktion für Atom- oder Molekularemission (2.12) kann $Re (\underline \gamma_{12}(\tau))$ berechnet werden.

$$Re (\underline \gamma_{12}(\tau)) = \int_0^{\infty} P(\omega) \cos \omega \tau d \omega$$ (2.18)

Das Resultat ist wieder eine Gaussche Kurve

$$Re (\underline \gamma_{12}(\tau)) = e^{-(\tau / \tau_0)^2} \cos \omega_0 \tau$$ (2.19)

$$Re (\underline \gamma_{12}(\tau)) = \gamma_{12}(\tau) \cos \omega \tau$$ (2.20)

Abbildung 2.3: Korrelationsfunktion

Die Korrelationfunktion besteht also aus einem schnell variierenden Term $\cos \omega_0 \tau$ und einem langsamer variierenden Term $e^{-(\tau / \tau_0)^2}$, der die Amplitude des schnell variierenden Terms moduliert. Wenn $\tau \ll \tau_0$ kommt nur der schnell variierende Term zum tragen.

$$Re (\underline \gamma_{12}(\tau)) \approx \cos \omega_0 \tau$$ (2.21)

Hier erhält man das Ergebnis für eine monochromatische Welle, also ideal kohärente Strahlung. Kommt $\tau$ jedoch in die Größenordnung von $\tau_0$, so kann der Effekt der Frequenzverschiebung, ausgedrückt in (2.12), in dem langsamer variierenden Term beobachtet werden. Dieser Term wird im Folgenden als Kohärenzgrad bzw. Kohärenzfunktion bezeichnet.

$$\gamma_{12}(\tau) = e^{-(\tau / \tau_0)^2}$$ (2.22)

Abbildung 2.4: Kohärenzfunktion

Die im Punkt P auftretende Intensität des Interferenzmusters kann jetzt in Abhängigkeit von der Verzögerung $\tau$ ausgedrückt werden.

$$I_P(\tau) = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \gamma_{12}(\tau) \cos \omega_0 \tau$$ (2.23)

Die maximal auftretende Intensität beträgt

$$I_{max} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \gamma_{12}(\tau)$$ (2.24)

und die Minimalintensität ist

$$I_{min} = I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2} \gamma_{12}(\tau)$$ (2.25)

Über die Kontrastfunktion M (2.10) besteht jetzt eine Möglichkeit, $\gamma_{12}(\tau )$ zu messen

$$M = \frac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \frac{2 \sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} \gamma_{12}(\tau)$$ (2.26)

Bei gleichen Intensitäten stimmt also der Kohärenzgrad $\gamma_{12}$ mit der Kontrastfunktion M überein:

$$M = \vert\gamma_{12}(\tau )\vert$$ (2.27)

Damit ergeben sich bei der Interferenz für Intensität und Kontrast die Spezialfälle in Tabelle 2.1.

Tabelle 2.1: Spezialfälle der Interferenz für Intensität und Kontrast

	für gleiche Intesitäten:
inkohärenter Grenzfall: $\tau_0 \to 0$ bzw. $\tau \gg \tau_0$; $\gamma_{12} = 0$
IP = I1 + I2	IP = 2 I0
M = 0, da Imax = Imin = IP	M = 0
kohärenter Grenzfall: $\tau_0 \to \infty$ bzw. $\tau \ll \tau_0$; $\gamma_{12} = 1$
$I_P = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \cos \omega \tau$	$I_P = 2 I_0(1 + \cos \omega_0 \tau)$
$I_{max} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2}$	Imax = 4 I0
$I_{min} = I_1 + I_2 - 2 \sqrt{I_1 I_2}$	Imin = 0
$M = \frac{2 \sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2}$	M = 1
Teilkohärenz: $0 < \gamma_{12} < 1$
$I_P = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \gamma_{12} \cos \omega_0 \tau$	$I_P = 2 I_0(1 + \gamma_{12} \cos \omega_0 \tau)$
$I_{max} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \gamma_{12}$	$I_{max} = 2 I_0(1 + \gamma_{12})$
$I_{min} = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2} \gamma_{12}$	$I_{min} = 2 I_0(1 - \gamma_{12})$
$M = \frac{2 \sqrt{I_1 I_2}}{I_1 + I_2} \gamma_{12}$	$M = \gamma_{12}$